Cvejić se je rodil v Beogradu 25. avgusta 1946, leta 1965 je začel študirati igro na Fakulteti za dramsko umetnost v Beogradu. Skupaj z drugimi člani nove generacije igralcev je na povabilo Bojana Stupice postal član JDP leta 1967.
V matični hiši je odigral več kot 50 vlog, gostoval je tudi na drugih gledaliških odrih, med drugim v beograjskem Zvezdara teatru, pri ustanovitvi katerega je tudi sam sodeloval. Med letoma 2002 in 2011 je bil direktor JDP, pred tem je bil med letoma 1986 in 1999 pomočnik direktorja.
Igral je v več kot 40 celovečernih filmih ter ustvaril vrsto pomembnih vlog v televizijskih serijah, filmih in dramah.
Branko Cvejić pripada generaciji srbskih in jugoslovanskih gledališčnikov, filmskih in televizijskih igralcev, ki je konec šestdesetih let minulega stoletja radikalno spremenila podobo takratnega gledališča. Prispevek Branka Cvejića tej gledališki revoluciji je višek dosegel prav v televizijski seriji in kasneje filmskem nadaljevanju Na vrat na nos avtorja Srđana Karanovića in Rajka Grlića, ki je obeležil ta preobrat.
